Question

（1）如圖1所示，在等邊△ABC中，點D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE，求證：AE∥BC；

（2）如圖2所示，將（1）中等邊△ABC的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，請問仍有AE∥BC？證明你的結論．

Answer 1

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】動點型；探究型．

【分析】（1）證明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可證．

（2）證明△ABC∽△EDC后可推出∠EAC=∠ACB，由此可證．

【解答】證明：（1）∵△ABC和△EDC是等邊三角形

∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=CB，EC=DC，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△ACE≌△BCD，

∴∠EAC=∠B=60°，

又∵∠ACB=60°，

∴∠ACB=∠EAC，

∴AE∥BC；

（2）仍平行；

∵△ABC∽△EDC，

∴∠ACB=∠ECD，，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△AEC∽△BDC，

∴∠EAC=∠B，

又∵∠ACB=∠B，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC．

【點評】本題考查的是全等三角形的判定以及相似三角形的判定的有關知識．關鍵是證明△ACE≌△BCD和△ABC∽△EDC．