Question

【題目】某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在探究相似多邊形問題時(shí)，他們提出了下面兩個(gè)觀點(diǎn)：

觀點(diǎn)一：將外面大三角形按圖1的方式向內(nèi)縮小，得到新三角形，它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為，則新三角形與原三角形相似．

觀點(diǎn)二：將鄰邊為和的矩形按圖2方式向內(nèi)縮小，得到新的矩形，它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為，則新矩形與原矩形相似．

請(qǐng)回答下列問題：

（1）你認(rèn)為上述兩個(gè)觀點(diǎn)是否正確？請(qǐng)說明理由．

（2）如圖3，已知，，，，將按圖3的方式向外擴(kuò)張，得到，它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）觀點(diǎn)一正確，觀點(diǎn)二不正確，見解析；（2）54

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形以及相似多邊形的判定定理來判定甲乙的觀點(diǎn)是否正確；
（2）首先根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C是直角，求出△ACB的內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而△DEF的內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及面積公式即可求出△DEF的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出△DEF的面積．

解：（1）答：觀點(diǎn)一正確，觀點(diǎn)二不正確．

理由：①如圖1，連接并延長(zhǎng)至，

和對(duì)應(yīng)的邊間距都為

，．

，．

．

即．同理．

觀點(diǎn)一正確．

②如圖2，由題意知，原矩形的鄰邊為和，則新矩形對(duì)應(yīng)的鄰邊為和．

，，

，

新矩形與原矩形不相似．

觀點(diǎn)二不正確．

（2）如圖3，作射線，交于點(diǎn)．

到邊、的距離都為，

是的角平分線．

同理：是的角平分線，

點(diǎn)是與的內(nèi)心．

，，，

是直角三角形．

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為．則．解得：．

過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

，

．

．

由（1）可知．

．同理．

，．

的面積為．