Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．動(dòng)點(diǎn)E，F同時(shí)分別從點(diǎn)A，B出發(fā)，分別沿著射線AC和射線BC的方向均以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接EF，以EF為直徑作⊙O交射線BC于點(diǎn)M，連接EM，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，用關(guān)于t的代數(shù)式表示CE＝　 　，CM＝　 　．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、F、M為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

【答案】(1)8-t, ;(2) t的值為s或s．

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，0＜t≤8．根據(jù)題意，可知AE=t，則CE=AC-AE=8-t，利用圓周角定理得∠EMF=90°．則可證得△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出CM；
（2）討論：當(dāng)E點(diǎn)在線段AC上，（0＜t≤8），先由△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出，則FM=，①若∠EFM=∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，利用相似比可求出t=0（舍去）；②若∠EFM=∠ACB時(shí)，△MEF∽△ABC，利用相似比可求得t=（s）；分情況進(jìn)行討論即可；

解：（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AC 上時(shí)，0＜t≤8．根據(jù)題意，可知 AE＝t，則 CE＝AC﹣AE＝8﹣t．

∵EF 為直徑，

∴∠EMF＝90°．

∵∠ECM＝∠BCA，

∴△CEM∽△CBA，

∴，即，

∴，

故答案為：8﹣t，．

（2）∵△CEM∽△CBA，

∴，

即，

解得，

∴FM＝BC﹣BF﹣CM＝10﹣t﹣＝，

當(dāng)E點(diǎn)在線段 AC 上，（0＜t≤8），

①如圖1中，若∠EFM＝∠B時(shí)，△MFE∽△ABC，

∴，

即，解得t＝0（舍去）．

②若∠EFM＝∠ACB時(shí)，△MEF∽△ABC，

∴

即，解得t＝（成立）．

當(dāng)E點(diǎn)在線段AC的延長(zhǎng)線上，8＜t≤10，如圖2中，

顯然EM＜CM≤FM，∴△MFE∽△ABC不成立，

只有△MFE∽△ACB，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，

∵∠EFM＝∠ACB，∠CME＝∠A，

∴△MEF∽△ABC，此時(shí)t＝10（成立）；

當(dāng)t＞10時(shí)，由題意ME＝（t﹣8），FM＝BC+CM﹣BF＝10+（8﹣t）﹣t＝，

若△MFE∽△ABC，此時(shí)∠EFM＝∠B，則＝，即（8﹣t）：＝3：4，

解得t＝（成立），

若△MEF∽△ABC，此時(shí)∠EFM＝∠ACB，則＝，即（t﹣8）：＝3：4，

解得t＝10（舍棄），

綜上所述，滿足條件的t的值為s或s．