Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝60°，AB＝3，D為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠D＝∠ACB，⊙O為△ACD的外接圓．

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）3+；（2）2.

【解析】試題（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，在Rt△ABE和在Rt△ACE中，利用特殊角的三角函數(shù)值可分別求出BE=AE=3，EC=，可得BC=BE+EC=3+；（2）連接AO并延長(zhǎng)到⊙O上一點(diǎn)M，連接CM，在Rt△ACE中，利用∠M=60°，AC=2，可求AM=4，從而得半徑是2.

試題解析：解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，

∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵sinB=，

∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，

∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，

在Rt△ACE中，

∵tan∠ACB=，

∴EC=，

∴BC=BE+EC=3+；

（2）連接AO并延長(zhǎng)到⊙O上一點(diǎn)M，連接CM，

由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，

∴AC=2，

∵∠D=∠M=60°，

∴sin60°=，

解得：AM=4，

∴⊙O的半徑為2