Question

【題目】如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，，．以為頂點(diǎn)，為一邊，在外部作，且，連接，．

（1）求證：；

（2）根據(jù)推理可得__________，__________；（用含的代數(shù)式表示）

（3）探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）為125°或110°或140°．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，，然后利用SAS定理證得，然后根據(jù)全等三角形的和等式的性質(zhì)可求，，從而判定△OCD是等邊三角形，從而求解；

（2）根據(jù)∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD求解；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知∠ADC=∠BOC=α，又由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ODC=60°，從而求出∠ODA的度數(shù)；

（3）分三種情況討論，利用已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解：（1）為等邊三角形，

，．

又，，

，，，

又，

是等邊三角形．

．

（2）由題意可知：∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD且，

又由（1）可知是等邊三角形．

∴∠COD=60°

∴∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α；

由（1）可知：且是等邊三角形

∴∠ADC=∠BOC=α且∠ODC=60°

∴∠ADC=∠BOC-∠ODC=α-60°

故答案為：；；

（3）解：①當(dāng)時(shí)，，

即，

解，得．

②當(dāng)時(shí)，，

，

即，

，

解，得．

③當(dāng)時(shí)，，

即，

解，得．

當(dāng)為125°或110°或140°時(shí)，是等腰三角形．