Question

【題目】如圖，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）判斷直線CD和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線BE交直線CD于點(diǎn)E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求∠BEC的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線CD與⊙O的位置關(guān)系是相切．

理由：

連接OD，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即：OD⊥CE，

∴直線CD 是⊙O的切線．

即：直線CD 與⊙O的位置關(guān)系是相切．

（2）解：∵AC=2，⊙O的半徑是3，

∴OC=2=3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4．

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

設(shè)DE=EB=x，

在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

則 （4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=6，

即 BE=6，

∴tan∠BEC= ，

即：tan∠BEC= ．

【解析】（1）連接OD，由直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，然后可得到∠CDA+∠ODA=90°，故此可得到直線和圓的位置關(guān)系；
（2）首先在Rt△CDO中依據(jù)勾股定理求得：CD的長，然后依據(jù)切線長定理得DE=EB，設(shè)DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，可得到關(guān)于x的方程，從而可求得x的值，最后由正切函數(shù)的定義解得∠BEC的正切值即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與圓的三種位置關(guān)系和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握直線與圓有三種位置關(guān)系：無公共點(diǎn)為相離；有兩個公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑才能正確解答此題．