Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+ax+a（a≠0）交x軸于點A和點B（點A在點B左邊），交y軸于點C，連接AC，tan∠CAO＝3．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，D是第一象限的拋物線上一點，連接DB，將線段DB繞點D順時針旋轉90°，得到線段DE（點B與點E為對應點），點E恰好落在y軸上，求點D的坐標；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作x軸的垂線，垂足為H，點F在第二象限的拋物線上，連接DF交y軸于點G，連接GH，sin∠DGH＝，以DF為邊作正方形DFMN，P為FM上一點，連接PN，將△MPN沿PN翻折得到△TPN（點M與點T為對應點），連接DT并延長與NP的延長線交于點K，連接FK，若FK＝，求cos∠KDN的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）D的坐標為（3，3）；（3）

【解析】

（1）通過拋物線y＝先求出點A的坐標，推出OA的長度，再由tan∠CAO＝3求出OC的長度，點C的坐標，代入原解析式即可求出結論；

（2）如圖2，過點D分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為W和Z，證△DZE≌△DWB，得到DZ＝DW，由此可知點D的橫縱坐標相等，設出點D坐標，代入拋物線解析式即可求出點D坐標；

（3）如圖3，連接CD，分別過點C，H作F的垂線，垂足分別為Q，I，過點F作DC的垂線，交DC的延長線于點U，先求出點G坐標，求出直線DG解析式，再求出點F的坐標，即可求出正方形FMND的邊長，再求出其對角線FN的長度，最后證點F，K，M，N，D共圓，推出∠KDN＝∠KFN，求出∠KFN的余弦值即可．

解：（1）在拋物線y=中，

當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

∴OA＝1，

∵tan∠CAO＝3，

∴OC＝3OA＝3，

∴C（0，3），

∴a＝3，

∴a＝2，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+3；

（2）如圖2，過點D分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為W和Z，

∵∠ZDW＝∠EDB＝90°，

∴∠ZDE＝∠WDB，

∵∠DZE＝∠DWB＝90°，DE＝DB，

∴△DZE≌△DWB（AAS），

∴DZ＝DW，

設點D（k，﹣k2+k+3），

∴k＝﹣k2+k+3，

解得，k1＝﹣（舍去），k2＝3，

∴D的坐標為（3，3）；

（3）如圖3，連接CD，分別過點C，H作F的垂線，垂足分別為Q，I，

∵sin∠DGH＝

∴設HI＝4m，HG＝5m，則IG＝3m，

由題意知，四邊形OCDH是正方形，

∴CD＝DH＝3，

∵∠CDQ+∠IDH＝90°，∠IDH+∠DHI＝90°，

∴∠CDQ＝∠DHI，

又∵∠CQD＝∠DIH＝90°，

∴△CQD≌△DIH（AAS），

設DI＝n，

則CQ＝DI＝n，DQ＝HI＝4m，

∴IQ＝DQ﹣DI＝4m﹣n，

∴GQ＝GI﹣IQ＝3m﹣（4m﹣n）＝n﹣m，

∵∠GCQ+∠QCD＝90°，∠QCD+∠CDQ＝90°，

∴∠GCQ＝∠CDQ，

∴△GCQ∽△CDQ，

∴

∴

∴n＝2m，

∴CQ＝DI＝2m，

∴IQ＝2m，

∴tan∠CDG＝，

∵CD＝3，

∴CG＝，

∴GO＝CO﹣CG＝，

設直線DG的解析式為y＝kx+，

將點D（3，3）代入，

得，k＝，

∴yDG＝，

設點F（t，﹣t2+t+3），

則﹣t2+t+3＝t+，解得，t1＝3（舍去），t2＝﹣，

∴F（﹣，）

過點F作DC的垂線，交DC的延長線于點U，

則，

∴在Rt△UFD中，

DF＝，

由翻折知，△NPM≌△NPT，

∴∠MNP＝∠TNP，NM＝NT＝ND，∠TPN＝∠MPN，TP＝MP，

又∵NS⊥KD，

∴∠DNS＝∠TNS，DS＝TS，

∴∠SNK＝∠TNP+∠TNS＝×90°＝45°，

∴∠SKN＝45°，

∵∠TPK＝180°﹣∠TPN，∠MPK＝180°﹣∠MPN，

∴∠TPK＝∠MPK，

又∵PK＝PK，

∴△TPK≌△MPK（SAS），

∴∠MKP＝∠TKP＝45°，

∴∠DKM＝∠MKP+∠TKP＝90°，

連接FN，DM，交點為R，再連接RK，

則RK＝RF＝RD＝RN＝RM，

則點F，D，N，M，K同在⊙R上，FN為直徑，

∴∠FKN＝90°，∠KDN＝∠KFN，

∵FN＝，

∴在Rt△FKN中，

∴cos∠KDN＝cos∠KFN．