Question

【題目】如圖1所示是小明設(shè)計(jì)的帶菱形圖案的花邊作品，該作品由形如圖2所示的矩形圖案拼接而成(不重疊，無(wú)縫隙)，小明發(fā)現(xiàn)圖（2）具有對(duì)稱(chēng)之美，它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行探究．

（1）如圖3，若知圖案的一部分，請(qǐng)你根據(jù)如圖2將圖3的圖案補(bǔ)充完整(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

（2）如圖4，，，上、下兩個(gè)陰影部分的面積之和為，其內(nèi)部菱形由兩組距離相等的平行線(xiàn)兩兩相交得到，求該菱形的周長(zhǎng)；

（3）小明認(rèn)為：圖4中的4個(gè)空白部分在一定條件下能拼成一個(gè)正方形(不重疊，無(wú)縫隙)，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出應(yīng)滿(mǎn)足的條件(提示：求出與的長(zhǎng)度之比，并指出點(diǎn)、的位置)．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先做出最上方的三角形，然后將上下兩個(gè)三角形的邊分別延長(zhǎng)即可；

（2）設(shè)出AB=，BC=，表示出MN，及NP+MQ，表示出上下陰影面積之和，求得，利用勾股定理求得BE，利用求得EH，MH，得菱形周長(zhǎng)；

（3）設(shè)，，根據(jù)中間為正方形表示FH，AM及HM，利用

計(jì)算出與比值即可．

（1）尺規(guī)作圖，如圖所示：

（2）∵，，

∴設(shè)，，

∴，，

∴，

∴，

∴

解得，∴，(舍)，

∴，， ，，

又∵，

∴即，

∴，

∴，

∴

（3）由題意得

，，四邊形為直角梯形且

設(shè)，，

∴，，，

∴

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，∴

即即