Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b經過點A（2，0），B（0，1），動點P是x軸正半軸上的動點，過點P作PC⊥x軸，交直線AB于點C，以OA，AC為邊構造OACD，設點P的橫坐標為m．

（1）求直線AB的函數表達式；
（2）若四邊形OACD恰是菱形，請求出m的值；
（3）在（2）的條件下，y軸的正半軸上是否存在點Q，連結CQ，使得∠OQC+∠ODC=180°．若存在，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標，若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（2，0），B（O，1）代入y=kx+b，

可得 ，解得 ，

∴直線AB的函數表達式為y=﹣ x+1

（2）

解：∵OACD是菱形，

∴AC=OA=2，

∵PC⊥x軸，交直線AB于點C，

∴C（m，﹣ m+1），

∴（2﹣m）2+（﹣ m+1）2=22，

解得m1= ，m2=

（3）

解：由（2）求得m1= ，m2= ，且C點在直線AB上，

∴C點坐標為（ ，﹣ ）或（ ， ），

∵OACD是菱形，

∴∠D=∠OAC，

要使∠OQC+∠ODC=180°，即；∠OQC+∠OAC=180°，

∴四邊形QOAC的對角互補，

∴∠QOA+∠QCA=180°，

∵∠QOA=90°，

∴∠QCA=90°，

∴QC⊥AB，

設Q（0，n），

∴直線QC的解析式為y=2x+n，

把C點坐標分別代入y=2x+n，可得﹣ =2× +n或 =2× +n，

解得n=﹣4+2 或n=﹣4﹣2 （舍去），

∴點Q的坐標為（0，﹣4+2 ），

綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（0，﹣4+2 ）

【解析】（1）把點A（2，0），B（0，1）代入直線y=kx+b解方程可得；（2）根據菱形的性質得到AC=2，由點C（m，﹣ m+1）得到AP=|2﹣m|，CP=﹣