Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點A（－1，0），與y軸交于點B（0，2），直線y＝x－1與y軸交于點C，與x軸交于點D，點P是線段CD上方的拋物線上一動點，過點P作PF垂直x軸于點F，交直線CD于點E，

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)線段PE的長取最大值時，解答以下問題．

①求此時m的值．

②設(shè)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在以P、Q、C、D為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①m＝；②存在以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標(biāo)為

【解析】

（1）由題意利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式；

（2）①由題意分別用含m的代數(shù)式表示出點P，E的縱坐標(biāo)，再用含m的代數(shù)式表示出PE的長，運用函數(shù)的思想即可求出其最大值；

②根據(jù)題意對以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形分三種情況進行討論與分析求解.

解：（1）將A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：b=1,c=2

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2．

（2）①∵直線y＝ x-1與y軸交于點C，與x軸交于點D，

∴點C的坐標(biāo)為（0，-1），點D的坐標(biāo)為（2，0），

∴0＜m＜2．

∵點P的橫坐標(biāo)為m，

∴點P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），點E的坐標(biāo)為（m， m+3），

∴PE＝﹣m2+m+2﹣（ m+3）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+．

∵﹣1＜0，0＜＜2，

∴當(dāng)m＝時，PE最長．

②由①可知，點P的坐標(biāo)為（，）．

以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形分三種情況（如圖所示）：

①以PD為對角線，點Q的坐標(biāo)為；

②以PC為對角線，點Q的坐標(biāo)為；

③以CD為對角線，點Q的坐標(biāo)為．

綜上所述：在（2）的情況下，存在以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標(biāo)為.