Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上， 是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，點(diǎn)在軸上，直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，線段，．

（1）求直線的解析式；

（2）求的面積；

（3）點(diǎn)在軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）或或．

【解析】

（1）可求得、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式；

（2）可求得點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的解析式，聯(lián)立直線、解析式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得的面積；

（3）當(dāng)為直角三角形時(shí)，可找到滿足條件的點(diǎn)，分、和三種情況，分別求得點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別求得矩形對角線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1），，

，

是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

，，

，

設(shè)直線解析式為，

把、坐標(biāo)代入可得，

解得，

直線的解析式為；

（2）由（1）可知，

設(shè)直線解析式為，

把點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得，

直線解析式為，

令，解得，

點(diǎn)到軸的距離為，

又由（1）可得，

，

；

（3）以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

為直角三角形，

①當(dāng)時(shí)，則只能在軸上，連接交于點(diǎn)，如圖1，

該情況不符合題意．

②當(dāng)時(shí)，則只能在軸上，連接交于點(diǎn)，如圖2，

則有，

，即，解得，

，且，

，則，

，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，

解得，，此時(shí)；

③當(dāng)時(shí)，則可知點(diǎn)為點(diǎn)，如圖，

四邊形為矩形，

，，

可求得；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或．