Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象經(jīng)過(guò)O（0，0），A（4，4），B（3，0）三點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)O，A′，B′三點(diǎn)．

（1）畫出△OA′B′，試求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上，m≠0，直線OP與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)O）．

①連接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范圍；

②當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)Q作QQ′平行于x軸，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于另一點(diǎn)Q′，與二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象交于點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），直線OQ′與二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象交于點(diǎn)P′．△Q′P′M∽△QB′N，則線段　NQ的長(zhǎng)度等于　 　．

Answer 1

【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x；（2）①1﹣＜m＜1+，且m≠0；②6

【解析】

(1)根據(jù)位似的性質(zhì)得出A′（8，8），B′（6，0），將O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

（2）①如圖1，由P（m，n）在二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上，可得P（m，m2﹣3m），根據(jù)待定系數(shù)法易求得OP的解析是為y=（m﹣3）x，繼而可求得Q（2m，2m2﹣6m），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△OCP∽△ODQ，可得OQ=2OP，然后根據(jù)2AP＞OQ，可得AP＞OP，從而可得關(guān)于m的不等式，解不等式即可得；

②如圖2，P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m），根據(jù)點(diǎn)Q在第一象限，可得m＞3，QQ′的表達(dá)式是y=2m2﹣6m，解方程組，可得點(diǎn)Q′（6﹣2m，2m2﹣6m），繼而可得OQ′的解析式為y=﹣mx，從而求得點(diǎn)P′（3﹣m，m2﹣3m），由QQ′與y=x2﹣3x交于點(diǎn)M、N，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)△Q′P′M∽△QB′N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于的方程，解方程求出m的值即可得答案.

（1）如圖1，由以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，

得，

∵A（4，4），B（3，0），

∴A′（8，8），B′（6，0），

將O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y=ax2+bx+c，

得，解得，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣3x；

（2）①如圖1，∵P（m，n）在二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上，

∴n=m2﹣3m，

∴P（m，m2﹣3m），

設(shè)直線OP的解析式為y=kx，將點(diǎn)P（m，m2﹣3m）代入函數(shù)解析式，

得mk=m2﹣3m，

∴k=m﹣3，

∴OP的解析是為y=（m﹣3）x，

∵OP與y═x2﹣3x交于Q點(diǎn)，

∴，解得（不符合題意舍去），，

∴Q（2m，2m2﹣6m），

過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于點(diǎn)D，

則OC=|m|，PC=|m2﹣3m|，OD=|2m|，QD=|2m2﹣6m|，

∵，

∴△OCP∽△ODQ，

∴OQ=2OP，

∵2AP＞OQ，

∴2AP＞2OP，即AP＞OP，

∴，

化簡(jiǎn)，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣＜m＜1+，且m≠0；

②如圖2，P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）

∵點(diǎn)Q在第一象限，

∴，解得m＞3，

由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表達(dá)式是y=2m2﹣6m，

∵QQ′′交y=x2﹣3x交于點(diǎn)Q′，

，解得（不符合題意，舍），，

∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m），

設(shè)OQ′的解析是為y=kx，（6﹣2m）k=2m2﹣6m，

解得k=﹣m，OQ′的解析式為y=﹣mx，

∵OQ′與y=x2﹣3x交于點(diǎn)P′，

∴﹣mx=x2﹣3x，

解得x1=0（舍），x2=3﹣m，

∴P′（3﹣m，m2﹣3m），

∵QQ′與y=x2﹣3x交于點(diǎn)M、N，

∴x2﹣3x=2m2﹣6m，

解得x1=，x2=，

∵M在N左側(cè)，

∴M（，2m2﹣6m），N（，2m2﹣6m），

∵△Q′P′M∽△QB′N，

∴，

∵，

即，

化簡(jiǎn)得：m2﹣12m+27=0，

解得：m1=3（舍），m2=9，

∴N（12，108），Q（18，108），

∴QN=6，

故答案為：6.