Question

【題目】如圖，已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，且點(diǎn)（2，2），（1， ）在拋物線上，點(diǎn)P是拋物線上不與頂點(diǎn)N重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PA⊥x軸于A，PC⊥y軸于C，延長(zhǎng)PC交拋物線于E，設(shè)M是O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，D是C點(diǎn)關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形PMDA是平行四邊形；
（3）求證：△DPE∽△PAM，并求出當(dāng)它們的相似比為 時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，

∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c，

∵點(diǎn)（2，2），（1， ）在拋物線上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y= x2+1，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）

（2）

證明：設(shè)P（t， t2+1），則C（0， t2+1），PA= t2+1，

∵M(jìn)是O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，D是C點(diǎn)關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且N（0，1），

∴M（0，2），

∵OC= t2+1，ON=1，

∴DM=CN= t2+1﹣1= t2，

∴OD= t2﹣1，

∴D（0，﹣ t2+1），

∴DM=2﹣（﹣ t2+1）= t2+1=PA，且PM∥DM，

∴四邊形PMDA為平行四邊形

（3）

解：同（2）設(shè)P（t， t2+1），則C（0， t2+1），PA= t2+1，PC=|t|，

∵M(jìn)（0，2），

∴CM= t2+1﹣2= t2﹣1，

在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM= = = = t2+1=PA，且四邊形PMDA為平行四邊形，

∴四邊形PMDA為菱形，

∴∠APM=∠ADM=2∠PDM，

∵PE⊥y軸，且拋物線對(duì)稱(chēng)軸為y軸，

∴DP=DE，且∠PDE=2∠PDM，

∴∠PDE=∠APM，且 = ，

∴△DPE∽△PAM；

∵OA=|t|，OM=2，

∴AM= ，且PE=2PC=2|t|，

當(dāng)相似比為 時(shí)，則 = ，即 = ，解得t=2 或t=﹣2 ，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2 ，4）或（﹣2 ，4）

【解析】（1）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式，可求得其頂點(diǎn)N的坐標(biāo)；（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則可表示出C、D、M、A的坐標(biāo)，從而可表示出PA和DM的長(zhǎng)，由PA=DM可證得結(jié)論；（3）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，在Rt△PCM中，可表示出PM，可求得PM=PA，可知四邊形PMDA為菱形，由菱形的性質(zhì)和拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得∠PDE=∠APM，可證得結(jié)論，在Rt△AOM中，用t表示出AM的長(zhǎng)，再表示出PE的長(zhǎng)，由相似比為 可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．