Question

【題目】將一副三角尺按圖1擺放，等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB，與AC相交于點G，．

（1）求GC的長；

（2）如圖2，將△DEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)，使直角邊DF經(jīng)過點C，另一直角邊DE與AC相交于點H，分別過H、C作AB的垂線，垂足分別為M、N，通過觀察，猜想MD與ND的數(shù)量關系，并驗證你的猜想．

（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，當D′E′恰好經(jīng)過（1）中的點G時，請直接寫出DD′的長度．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）DM=DN；（3）

【解析】

（1）解直角三角形求出AC、AG即可解決問題；

（2）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CD=BD=AD．再由∠B=60°，得到△BDC為等邊三角形，從而可以證明∠HDA=30°，進一步得到 AH=HD，由等腰三角形的性質(zhì)得到MD=AM，ND=NB．即可得到結(jié)論；

（3）如圖3中，作GK∥DE交AB由K．求出AK的值即可解決問題．

（1）如圖1．

在Rt△ABC中，∵BC=2，∠B=60°，∴AC=BCtan60°=6，AB=2BC=4．

∵DF是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD=2．

在Rt△ADG中，AG4，∴CG=AC=AG=6﹣4=2．

（2）如圖2中，結(jié)論：DM=DN．

理由：∵△ABC為直角三角形，D為斜邊AB的中點，∴CD=BD=AD．

又∠B=60°，∴△BDC為等邊三角形，∴∠CDB=60°．

又∠EDF=90°，∴∠HDA=30°．

∵∠A=90°﹣∠B=30°，∴AH=HD，又HM⊥AD，∴MD=AM．

在等邊三角形 BCD中，CN⊥BD，∴ND=NB．

又AD=BD，∴MD=ND．

（3）如圖3中，作GK∥DE交AB由K．

在△AGK中，AG=GK=4，∠A=∠GKD=30°，作GH⊥AB于H．

則AH=AGcos30°=2，可得AK=2AH=4，此時K與B重合，∴DD′=DB=2．