Question

【題目】在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是ycm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，要求紙邊的寬度不得少于1cm，同時不得超過2cm．

（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍；

（2）此時金色紙邊的寬應為多少cm時，這幅掛圖的面積最大？求出最大面積的值．

Answer 1

【答案】（1）y=4x2+260x+4000（1≤x≤2）；（2）金色紙邊的寬為2cm時，這幅掛圖的面積最大，最大面積的值為4536cm2．

【解析】

（1）用含x的代數(shù)式表示出鑲紙邊后矩形的長和寬，根據(jù)矩形的面積公式即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，結(jié)合題意標明x的取值范圍即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定在自變量的取值范圍內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，由此即可解決最值問題．

（1）鑲金色紙邊后風景畫的長為（80+2x）cm，寬為（50+2x）cm，

∴y=（80+2x）（50+2x）=4x2+260x+4000（1≤x≤2）．

（2）∵二次函數(shù)y=4x2+260x+4000的對稱軸為x=﹣，

∴在1≤x≤2上，y隨x的增大而增大，

∴當x=2時，y取最大值，最大值為4536．

答：金色紙邊的寬為2cm時，這幅掛圖的面積最大，最大面積的值為4536cm2．