Question

已知D是銳角△ABC外接圓劣弧

BC

的中點，弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：
（1）EC：CB的值；
（2）cosC的值；
（3）tan

B

2

的值．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出

EC

BE

=

AC

AB

，代入求出即可；
（2）作BF⊥AC于F，求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；
（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．

解答：解：（1）∵弧BD=弧DC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

EC

BE

=

AC

AB

=

1

2

，
∴

EC

CB

=

1

3

．
答：EC：CB的值是

1

3

．

（2）作BF⊥AC于F，
∵

EC

BC

=

1

3

，

AB

EC

=

3

1

，
∴BA=BC，
∴F為AC中點，
∴cosC=

CF

BC

=

1

4

．
答：cosC的值是

1

4

．

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，
由勾股定理得：BF=

BC2-CF2

=

15

CF，
∴tan

B

2

=

OM

BM

=

CF

BF

=

15

15

．
答：tan

B

2

的值是

15

15

．

點評：本題主要考查對圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，勾股定理，角平分線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．