Question

如圖，半徑為6.5的⊙O′經(jīng)過原點(diǎn)O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB（OA＞OB）的長(zhǎng)分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）求A、B兩點(diǎn)的距離；
（2）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當(dāng)OC²=CD•BC時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（4）在⊙O′上是否存在點(diǎn)P，使△ABD的面積等于△POD的面積，即S_△ABD=S_△POD？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）由于∠BOA=90°，根據(jù)圓周角定理可知：AB的長(zhǎng)即為圓的直徑；
（2）可在直角三角形OBA中，根據(jù)勾股定理和韋達(dá)定理來(lái)求出OA，OB的長(zhǎng)；
（3）已知了OC²=CD•BC，那么三角形OCD和BCO相似，因此∠OBC=∠DOC，此時(shí)可得出弧OC=弧CA，即C是劣弧OA的中點(diǎn)，如果連接O′C，根據(jù)垂徑定理可得出O′C垂直平分OA，由此可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如果設(shè)O′C和OA的交點(diǎn)為E，可根據(jù)相似三角形OBD和ECD求出OD的長(zhǎng)，那么如果S_△ABD=S_△POD，可據(jù)此求出三角形POD中OD邊上的高，然后同圓O′中點(diǎn)到x軸的最大距離進(jìn)行比較即可得出P是否在圓上．

解答：解：（1）連接AB．
∵∠BOA=90°，
∴AB是⊙的直徑．
∴AB=13；

（2）∵OA²+OB²=AB²
即（OA+OB）²-2OA•OB=169
又∵OA、OB是方程x²+kx+60=0的兩根
∴OA+OB=-k，OA•OB=60
∴k²-120=169．
∴k=17，k=-17．
∵OA+OB=-k＞0，
∴k＜0，
∴k=-17．
方程是x²-17x+60=0解出x=12，x=5．
∵OA＞OB，
∴OA=12，OB=5；

（3）連接O′C，交AO于E
由OC²=CD•CB，得

OC

CD

=

CB

OC

．
又∵∠OCB=∠DCO，
∴△OCB∽△DCO．
∴∠COD=∠CBO，
∴弧AC=弧OC，O′C⊥OA．
∴OE=AE=6，CE=O′C-O′E=O′C-

1

2

OB=-4．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（6，-4）；

（4）假定在⊙上存在點(diǎn)P，使S_△ABD=S_△POD．
∵OB∥EC
∴△OBD∽△ECD
∴

OB

EC

=

OD

ED

即

5

4

=

OD

6-OD

解得OD=

10

3

．
∴S_△ABD=

1

2

AD•BO=

65

3

，
∴S_△POD=

65

3

在中，OD邊上的高為13，即點(diǎn)P到x軸的距離為13，
∵⊙上的點(diǎn)到x軸的最大距離為9，
∴點(diǎn)P不在⊙上，
故在⊙上不存在點(diǎn)P，使S_△ABD=S_△POD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．