Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，且∠ABC＝120°，E是BC的中點(diǎn)，P為BD上一點(diǎn)，且△PCE的周長(zhǎng)最小，則△PCE的周長(zhǎng)的最小值為（　�。�

A.+1B.+1C.2+1D.2+1

Answer 1

【答案】B

【解析】

由菱形ABCD中，∠ABC＝120°，易得△BCD是等邊三角形，繼而求得∠ADE的度數(shù)；連接AE，交BD于點(diǎn)P；首先由勾股定理求得AE的長(zhǎng)，即可得△PCE周長(zhǎng)的最小值＝AE+EC．

解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，

∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，

∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴∠BDE＝∠BDC＝30°，

∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴PA＝PC，

∵△PCE的周長(zhǎng)=，

若△PCE的周長(zhǎng)最小，即PC+PE最小，也就是PA+PE最小，即A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，

∵DE＝CDsin60°＝，CE＝BC＝1，

∴在Rt△ADE中，，

∴△PCE周長(zhǎng)為：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝，

故選：B．