Question

【題目】問題提出；

（1）如圖1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，點E為CD的中點，點P為BC上的動點，CP＝　 　時，△APE的周長最�。�

（2）如圖2，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，點E為CD的中點，點P、點Q為BC上的動點，且PQ＝2，當(dāng)四邊形APQE的周長最小時，請確定點P的位置（即BP的長）

問題解決；

（3）如圖3，某公園計劃在一片足夠大的等邊三角形水域內(nèi)部（不包括邊界）點P處修一個涼亭，設(shè)計要求PA長為100米，同時點M，N分別是水域AB，AC邊上的動點，連接P、M、N的水上浮橋周長最小時，四邊形AMPN的面積最大，請你幫忙算算此時四邊形AMPN面積的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）BP＝4；（3）平方米．

【解析】

（1）延長AB到M，使BM=AB，則A和M關(guān)于BC對稱，連接EM交BC于P，此時AP+EP的值最小，根據(jù)勾股定理求出AE長，根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB∥CD，推出△ECP∽△MBP，得出比例式，代入即可求出CP長；

（2）點A向右平移2個單位到M，點E關(guān)于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，證△MNQ∽△FCQ即可求BP的長；

（3）作點P關(guān)于AB的對稱點G，作點P關(guān)于AC的對稱點H，連接GH，交AB，AC于點M，N，此時△PMN的周長最�。�S四邊形AMPN=S△AGM+S△ANH=S△AGH-S△AMN，即S△AMN的值最小時，S四邊形AMPN的值最大．

解：（1）：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°＝∠ABC，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，

∵E為CD中點，

∴DE＝CE＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2，

即△APE的邊AE的長一定，

要△APE的周長最小，只要AP+PE最小即可，

延長AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對稱，

連接EM交BC于P，此時AP+EP的值最小，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴△ECP∽△MBP，

∴

∴

∴CP＝

故答案為：

（2）點A向右平移2個單位到M，點E關(guān)于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，

此時MQ+EQ最小，

∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝2，

∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，

即AP+EQ＝MQ+EQ，過M作MN⊥BC于N，

∴MN∥CD

∴△MNQ∽△FCQ，

∴

∴

∴NQ＝4

∴BP＝BQ﹣PQ＝4+2﹣2＝4

（3）如圖，作點P關(guān)于AB的對稱點G，作點P關(guān)于AC的對稱點H，連接GH，交AB，AC于點M，N，此時△PMN的周長最�。�

∴AP＝AG＝AH＝100米，∠GAM＝∠PAM，∠HAN＝∠PAN，

∵∠PAM+∠PAN＝60°，

∴∠GAH＝120°，且AG＝AH，

∴∠AGH＝∠AHG＝30°，

過點A作AO⊥GH，

∴AO＝50米，HO＝GO＝50米，

∴GH＝100米，

∴S△AGH＝GH×AO＝2500平方米，

∵S四邊形AMPN＝S△AGM+S△ANH＝S△AGH﹣S△AMN，

∴S△AMN的值最小時，S四邊形AMPN的值最大，

∴MN＝GM＝NH＝時

∴S四邊形AMPN＝S△AGH﹣S△AMN＝2500﹣＝平方米．