Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為AC邊上一點，連接BD，AF⊥BD于點F，點E在BF上，連接AE，∠EAF=45°；

（1）如圖1，EM∥AB，分別交AF、AD于點Q、M，求證：FD=FQ；

（2）如圖2，連接CE，AK⊥CE于點K，交DE于點H，∠DEC=30°，HF=，求EC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）6

【解析】

試題分析：（1）證得△ADF≌EQF，即可證得結論；

（2）延長AF交CE于P，證得△ABH≌△APC得出AH=CP，證得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的長．

（1）證明：如圖1，∵∠EAF=45°，AF⊥BD，

∴AF=EF，

∵EM∥AB，∠BAC=90°，

∴∠AME=90°，

∴∠AQM+∠FAD=90°，

∵∠ADF+∠FAD=90°，

∴∠AQM=∠ADF，

∴∠EQF=∠ADF，

在△ADF和EQF中，

，

∴△ADF≌EQF（AAS），

∴FD=FQ；

（2）解：如圖2，延長AF交CE于P，

∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，

∴∠ABH=∠PAC，

∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，

∴∠HEK=∠FAH，

∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，

∴∠AHF=∠EPF，

∴∠AHB=∠APC，

在△ABH與△APC中，

，

∴△ABH≌△APC（ASA），

∴AH=CP，

在△AHF與△EPF中，

，

∴△AHF≌△EPF（AAS），

∴AH=EP，∠CED=∠HAF，

∴EC=2AH，

∵∠DEC=30°，

∴∠HAF=30°，

∴AH=2FH=2×=3，

∴EC=2AH=6．