Question

【題目】已知，在 中，，垂足分別為．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，點為的中點，連接.請判斷的形狀？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是等腰直角三角形，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠DAC=∠BCE，進而可根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB，可得DC=BE，AD=CE，進一步即可得出結(jié)論；

（2）延長EB、DO交于點F，如圖3，易得AD∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和AAS可證△ADO≌△BFO，可得AD=BF，DO=FO，進而可得ED=EF，于是△DEF為等腰直角三角形，而點O是斜邊DF的中點，于是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和判定可得結(jié)論．

解：（1）證明：如圖1，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴DC=BE，AD=CE，

∴DE=DC+CE=AD+BE；

（2）是等腰直角三角形．

理由：延長EB、DO交于點F，如圖3，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥EF，

∴∠ADO=∠F，∠DAO=∠FBO，

∵點O是AB中點，∴AO=BO，

∴△ADO≌△BFO（AAS），

∴AD=BF，DO=FO，

∴EF=EB+BF=EB+AD，∴ED=EF，

∴EO⊥DF，即∠EOD=90°，

∵∠DEF=90°，∴∠EDO=45°=∠DEO，

∴OD=OE，

∴△DOE是等腰直角三角形．