Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+4圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)M為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形BOCP面積最大時(shí)，求EN+MN+CM的最小值．

（2）在（1）的條件下，將△AMN在直線CN上平移，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M'，是否存在點(diǎn)M'使得△MOM'成為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M'的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EN+MN+CM的最小值＝；（2）點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（，）或（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）當(dāng)四邊形BOCP面積最大時(shí)，只需要△BCP的面積S最大，此時(shí)點(diǎn)E（，2）；過點(diǎn)E′作E′H⊥CH于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，則點(diǎn)M、N為所求，即可求解；

（2）分MM′＝OM、MM′＝OM′、OM′＝OM三種情況，分別求解即可．

（1）二次函數(shù)y＝﹣x2+x+4圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，

則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣，0）、（3，0）、（0，4）；

（1）當(dāng)四邊形BOCP面積最大時(shí)，只需要△BCP的面積S最大，

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+4，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+x+4），則點(diǎn)E（x，﹣x+4），

S＝×PE×OB＝（﹣x2+x+4+x﹣4）＝（﹣x2+3x），

當(dāng)x＝時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)E（，2）；

過點(diǎn)C作∠CMH＝α，使sinα＝，

拋物線的對(duì)稱軸為：x＝，則MN＝，

將點(diǎn)E向左平移MN的長度個(gè)單位，得到點(diǎn)E′（，2），

過點(diǎn)E′作E′H⊥CH于點(diǎn)H，交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，則點(diǎn)M、N為所求，

連接EN，∵EE′＝MN，EE′∥MN，

∴EE′MN為平行四邊形，則EN＝E′M，

EN+MN+CM的最小值＝E′M+HM+MN＝E′M+HM+，

直線HE′表達(dá)式中的k為﹣，點(diǎn)E′（，2），

則直線HE′的表達(dá)式為：y＝﹣x+，

故點(diǎn)M（0，），點(diǎn)N（，）；

EN+MN+CM的最小值＝E′M+HM+＝+×（4﹣）+＝；

（2）點(diǎn)M（0，），點(diǎn)N（，）、點(diǎn)C（0，4），

則直線CN表達(dá)式中的k為﹣，設(shè)點(diǎn)M向下平移4m個(gè)單位，則向右平移3m個(gè)單位，

故點(diǎn)M′（3m，﹣4m），

則MM′2＝（3m）2+（4m）2＝25m2；OM2＝（）2；OM′2＝（3m）2+（﹣4m）2；

①當(dāng)MM′＝OM時(shí)，25m2＝（）2，解得：m＝；

②當(dāng)MM′＝OM′時(shí)，同理可得：m＝,∴M′（，）；

③當(dāng)OM′＝OM時(shí)，同理可得：m＝，∴M′（，﹣）；

綜上，點(diǎn)M′的坐標(biāo)為：（﹣，﹣）或（，）或（，）或（，﹣）．