Question

如圖1，點G、F分別是等腰△ABC、等腰△ADE底邊的中點，∠BAC=∠DAE=∠α，點P是線段CD的中點．試探索：∠GPF與∠α的關系，并加以證明．
說明：（1）如果你反復探索，沒有解決問題，請寫出探索過程（要求至少寫3步）；
（2）在你完成（1）之后，可以從如圖2，如圖3中選取一個圖，完成解答．

Answer 1

【答案】分析：∠GPF與∠α的關系是互為補角，
（1）連接BD，連接CE，由已知可證明△ABD≌△ACE，則∠ABD=∠ACE．因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，則PG∥BD，PF∥CE．進而得出∠GPF=180°-∠α．
（2）選取圖2或3都可以，例如圖3，由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根據(jù)G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，可得出PG∥BD，PF∥CE．則∠GPF=180°-∠α．
解答：解：∠GPF=180°-∠α．
（1）證明：連接BD，連接CE．∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，
∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，
∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α，
即∠GPF=180°-∠α．

（2）選取圖2證明：
連接BD，連接CE．
∵AB=AC、AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，（5分）
∴∠ABD=∠ACE．
設BD與CE交于點O，AC與BD交于點K，∠AKB=∠CKO，
∴∠BOC=∠BAC，∠COD=180°-∠α．
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，
∴PG∥BD，PF∥CE．（8分）
∴∠GPC=∠BDC，∠DPF=∠DCE，（9分）
∠GPF=180°-∠GPC-∠DPF=180°-∠BDC-∠DCE=∠COD，
即∠GPF=180°-∠α．（10分）

選取圖3證明：
∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，（3分）
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，∴PG∥BD，PF∥CE．（4分）
∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD
=180°-∠BAC=180°-∠α，即∠GPF=180°-∠α．（5分）
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，是一個變式訓練題，難度偏大．