如圖1,點G、F分別是等腰△ABC、等腰△ADE底邊的中點,∠BAC=∠DAE=∠α,點P是線段CD的中點.試探索:∠GPF與∠α的關系,并加以證明.
說明:(1)如果你反復探索,沒有解決問題,請寫出探索過程(要求至少寫3步);
(2)在你完成(1)之后,可以從如圖2,如圖3中選取一個圖,完成解答.

【答案】分析:∠GPF與∠α的關系是互為補角,
(1)連接BD,連接CE,由已知可證明△ABD≌△ACE,則∠ABD=∠ACE.因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,則PG∥BD,PF∥CE.進而得出∠GPF=180°-∠α.
(2)選取圖2或3都可以,例如圖3,由AB=AC、AD=AE,得BD=CE,再根據(jù)G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,可得出PG∥BD,PF∥CE.則∠GPF=180°-∠α.
解答:解:∠GPF=180°-∠α.
(1)證明:連接BD,連接CE.∵AB=AC、AD=AE,∠BAC=∠DAE
∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,
∴PG∥BD,PF∥CE.∴∠PGC=∠CBD,∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD,
∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD,
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α,
即∠GPF=180°-∠α.

(2)選取圖2證明:
連接BD,連接CE.
∵AB=AC、AD=AE,∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE,(5分)
∴∠ABD=∠ACE.
設BD與CE交于點O,AC與BD交于點K,∠AKB=∠CKO,
∴∠BOC=∠BAC,∠COD=180°-∠α.
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,
∴PG∥BD,PF∥CE.(8分)
∴∠GPC=∠BDC,∠DPF=∠DCE,(9分)
∠GPF=180°-∠GPC-∠DPF=180°-∠BDC-∠DCE=∠COD,
即∠GPF=180°-∠α.(10分)

選取圖3證明:
∵AB=AC、AD=AE,∴BD=CE,(3分)
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點,∴PG∥BD,PF∥CE.(4分)
∴∠ADC=∠DPG,∠DPF=∠ACD,∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD
=180°-∠BAC=180°-∠α,即∠GPF=180°-∠α.(5分)
點評:本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質,是一個變式訓練題,難度偏大.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC為直角梯形,OA∥BC,BC=14,A(16,0),C(0,2).
(1)如圖①,若點P、Q分別從點C、A同時出發(fā),點P以每秒2個單位的速度由C向B運動,點Q以每秒4個單位的速度由A向O運動,當點Q停止運動時,點P也停止運動.設運動時間為t秒(0≤t≤4).
①求當t為多少時,四邊形PQAB為平行四邊形?
②求當t為多少時,直線PQ將梯形OABC分成左右兩部分的比為1:2,并求出此時直線PQ的解析式.
(2)如圖②,若點P、Q分別是線段BC、AO上的任意兩點(不與線段BC、AO的端點重合),且四邊形OQPC面積為10,試說明直線PQ一定經(jīng)過一定點,并求出該定點的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

8、△ABC與平行四邊形DEFG如圖放置,點D,G分別在邊AB,AC上,點E,F(xiàn)在邊BC上.已知BE=DE,CF=FG,則∠A的度數(shù)(  )

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•達州)通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達到解一題知一類的目的.下面是一個案例,請補充完整.
原題:如圖1,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,連接EF,則EF=BE+DF,試說明理由.

(1)思路梳理
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,可使AB與AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°,
∴∠FDG=180°,點F、D、G共線.
根據(jù)
SAS
SAS
,易證△AFG≌
△AEF
△AEF
,得EF=BE+DF.
(2)類比引申
如圖2,四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,則當∠B與∠D滿足等量關系
∠B+∠D=180°
∠B+∠D=180°
時,仍有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°.猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系,并寫出推理過程.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•南開區(qū)二模)如圖1,點C、B分別為拋物線C1:y1=x2+1,拋物線C2:y2=a2x2+b2x+c2的頂點.分別過點B、C作x軸的平行線,交拋物線C1、C2于點A、D,且AB=BD.
(1)求點A的坐標:
(2)如圖2,若將拋物線C1:“y1=x2+1”改為拋物線“y1=2x2+b1x+c1”.其他條件不變,求CD的長和a2的值;
(3)如圖2,若將拋物線C1:“y1=x2+1”改為拋物線“y1=4x2+b1x+c1”,其他條件不變,求b1+b2的值
2
3
2
3
(直接寫結果).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,其中∠ABC=∠ADE=90°,點M為EC的中點.

(1)如圖,當點D,E分別在AC,AB上時,求證:△BMD為等腰直角三角形;
(2)如圖,將圖中的△ADE繞點A逆時針旋轉45°,使點D落在AB上,此時問題(1)中的結論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎?請對你的結論加以證明.

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同步練習冊答案