Question

【題目】乘法公式的探究及應用.

數學活動課上，老師準備了若干個如圖的三種紙片，種紙片邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形.

（1）請用兩種不同的方法求圖大正方形的面積.

方法1：__________________________；

方法2：__________________________.

（2）觀察圖，請你寫出下列三個代數式:，，之間的等量關系_____________________.

（3）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：，，求的值；

②已知，求的值.

Answer 1

【答案】（1）(a+b)2；a2+b2+2ab；（2）(a+b)2=a2+2ab+b2；（3）①ab=11；②(x-2019)2=16

【解析】

（1）方法1：圖2是邊長為a+b的正方形，利用正方形的面積公式可得出S正方形=(a+b)2；方法2：圖2可看成1個邊長為a的正方形、1個邊長為b的正方形以及2個長為b寬為a的長方形的組合體，根據正方形及長方形的面積公式可得出S正方形=a2+2ab+b2；

（2）由圖2中的圖形面積不變，可得出(a+b)2=a2+2ab+b2；

（3）①由a+b=6可得出(a+b)2=36，即a2+b2+2ab=36，將a2+b2=14代入即可求出ab的值；

②設x-2018=a+1，則x-2019=a，x-2020=a-1，再根據完全平方公式求解即可．

解：（1）方法1：圖2是邊長為a+b的正方形，

∴S正方形=(a+b)2；

方法2：圖2可看成1個邊長為a的正方形、1個邊長為b的正方形以及2個長為b寬為a的長方形的組合體，

∴S正方形=a2+b2+2ab．

（2）由圖2中的圖形面積不變，可得出(a+b)2=a2+2ab+b2；

（3）①∵a+b=6，

∴(a+b)2=36，即a2+b2+2ab=36，

又∵a2+b2=14，

∴14+2ab=36，

∴ab=11；

②設x-2019=a，則x-2018=a+1，x-2020=a-1，

∵(x-2018)2+(x-2020)2=34，

∴(a+1)2+(a-1)2=34，

∴a2+2a+1+a2-2a+1=20，

∴2a2+2=34，

∴2a2=32，

∴a2=16，

即(x-2019)2=16．