Question

19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）請(qǐng)你判斷△ABD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）求證：DP∥AB；
（3）若AC=5，BC=12，求線段BD、CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先由直徑所對(duì)的圓周角是直角得出是直角三角形，再由角平分線得出AD=BD即可得出結(jié)論；
（2）先由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OD⊥AB，再有切線得出OD⊥DP即可得出結(jié)論，
（3）利用勾股定理先求出AB，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出BD，再構(gòu)造直角三角形即可求出CF進(jìn)而得出CD．

解答 解：（1）△ABD是等腰直角三角形，
理由：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠BCD=∠ACD，
∴BD=AD，
∴直角三角形ABD是等腰直角三角形．
（2）如圖，連接OD．由（1）知，△ABD是等腰直角三角形，OA=OB，
∴OD⊥AB，
∵DP是⊙O的切線，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥DP，
∴DP∥AB；
（3）如圖2，∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=5，BC=12，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13，
在Rt△ABD中，BD=AD，AB=13，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠BCD=45°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，
∴CF=DF，∵BC=BF+CF=12，
∴BF=12-CF，
在Rt△BDF中，BD=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴BD²=BF²+DF²，
∴$\frac{169}{2}$=（12-CF）²+CF²，
∴CF=$\frac{24+5\sqrt{5}}{4}$或CF=$\frac{24-5\sqrt{5}}{4}$，
∴CD=$\sqrt{2}$CF=$\frac{24\sqrt{2}+5\sqrt{10}}{4}$或$\frac{24\sqrt{2}-5\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是求出BD，是一道中等難度的中考�？碱}．