Question

已知，如圖所示，拋物線c₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，并與y軸交于點(diǎn)B，OA=

3

，AB=2

3

，拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于y軸對(duì)稱．
（1）求拋物線c₁的函數(shù)解析式，并直接寫出拋物線c₂的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)l是拋物線c₂的對(duì)稱軸，P是l上的一點(diǎn)，求當(dāng)△PAB的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線c₁上是否存在點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥AB于C，使得△DCB與△AOB相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中OA=

3

，AB=2

3

，求得OB的長，從而根據(jù)OA，OB得到點(diǎn)A，D坐標(biāo)，點(diǎn)A坐標(biāo)即為其頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到C₁，C₂C₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得到C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即其對(duì)稱軸，從而得到C₂解析式．
（2）作BB′∥x軸交C₂于點(diǎn)B′則點(diǎn)B′即為點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，連接AB′交l于點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．先求得直線AB′，代入對(duì)稱軸l的x值，從而進(jìn)一步求得點(diǎn)P．
（3）設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)D（x，(x-

3

)2），求得BD，求得直線AB，求得點(diǎn)D到直線AB的距離，若△DCB與△AOB相似，則

BD

AB

=

CD

OB

或

BD

AB

=

CD

OA

，代入求得的等式是否是否符合，符合則點(diǎn)D存在．

解答：解：（1）∵在Rt△OAB中OA=

3

，AB=2

3

，
∴OB=

AB2-OA2

=3，
∴點(diǎn)A（

3

，0），點(diǎn)B（0，3）．
則由

3a+ 3 b+c=0 c=3 - b 2a =  3

，
解得：a=1，b=-2

3

，c=3，
∴C₁的解析式為：y=x²-2

3

x+3=(x-

3

)2．
則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（-

3

，0），
相當(dāng)于C₁向左平移了2

3

個(gè)單位，
∴C₂的解析式為：y=(x+

3

)2；

（2）作BB′∥x軸交C₂于點(diǎn)B′則點(diǎn)B′即為點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，連接AB′交l于點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．
此時(shí)AB′即為△APB所形成三角形的最小周長．兩點(diǎn)之間線段最短．
∵點(diǎn)A（

3

，0），點(diǎn)B（0，3），
∴E（-

3

，0），
∴B′（-2

3

，3），
則設(shè)直線AB′為y=kx+b，代入A，B′得：

0= 3 k+b 3=-2 3 k+b

．
解得：k=-

3

3

，b=1，
∴直線AB′解析式為：y=-

3

3

x+1，
代入對(duì)稱軸x=-

3

，則y=2，
∴點(diǎn)P（-

3

，2）；

（3）如圖：存在，
知道點(diǎn)A，B設(shè)直線AB為y=mx+n，
代入解得：y=-

3

x+3，即y+

3

x-3=0，
設(shè)點(diǎn)D（x，(x-

3

)2），則BD=

2x2-2 3 x-6

，
則點(diǎn)D到直線的距離CD．
知道OA=

3

，OB=3，AB=2

3

，
若△DCB與△AOB相似，則

BD

AB

=

CD

OB

或

BD

AB

=

CD

OA

，
代入

BD

AB

=

CD

OB

，
則點(diǎn)D（1，4-2

3

），
檢驗(yàn)點(diǎn)D符合，
代入

BD

AB

=

CD

OA

，
則點(diǎn)D（3，12-6

3

），
檢驗(yàn)符合，
∴點(diǎn)D（1，4-2

3

）或（3，12-6

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到知道拋物線上的點(diǎn)求其解析式，求拋物線的對(duì)稱軸，以及拋物線的平移．