Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為x軸上兩點(diǎn)，C、D為y軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分c1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分c2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣ ），點(diǎn)M是拋物線C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的頂點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣1，0），B（3，0）；(2)存在，P（）;(3) m=﹣1或﹣.

【解析】試題分析：（1）將化為交點(diǎn)式，即可得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到面積的最大值；
（3）先表示出再分兩種情況：①時(shí)；

②時(shí)，討論即可求得的值．

試題解析：(1)

∵m≠0，

∴當(dāng)y=0時(shí),

∴A(1,0),B(3,0)；

(2)設(shè)，將A. B.C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：

解得

故

如圖：過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交BC于Q，

由B.C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為：

設(shè) 則

當(dāng)時(shí),有最大值,

(3)

頂點(diǎn)M坐標(biāo)(1,4m)，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3m，

∴D(0,3m),B(3,0)，

當(dāng)△BDM為Rt△時(shí)有：或

時(shí)有：

解得m=1(∵m<0,∴m=1舍去)；

時(shí)有：

解得 (舍去).

綜上,m=1或時(shí)，為直角三角形.