Question

已知：在四邊形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分別時AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH．設四邊形EFGH的面積為S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如圖①，當四邊形ABCD為正方形時，
①求S關于x的函數解析式，并求S的最小值S；
②在圖②中畫出①中函數的草圖，并估計S=0.6時x的近似值（精確到0.01）；
（2）如圖③，當四邊形ABCD為菱形，且∠A=30°時，四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①四邊形ABCD為正方形，易得四邊形EFGH為正方形，那么面積S=HE²，可求得二次函數的最值；②看二次函數上y=0.6時對應的x的值即可．
（2）易得△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．那么四邊形EFGH的面積=菱形ABCD的面積-2（S_△AHE+S_△EBF）利用30°的三角函數值求得兩三角形邊上的高即可求解．
解答：解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
則S=HE²=x²+（1-x）²
=2x²-2x+1=2（x-）²+
∴當x=時，S=
②列表：

x	0	0.3	0.5	0.7	1
y		0.58	0.5	0.58	0

在直角坐標系中描點、畫圖（圖2中粗線）．
（注：作圖時，不列對應值表不扣分）
觀察函數的圖象，可知當S=0.6時，x≈0.27和x≈0.73．
驗證：當x=0.27時，S=0.6029；當x=0.28時，S=0.5984．
從而取x≈0.28．同理取x≈0.72．

（2）四邊形EFGH的面積存在最小值．
理由如下：
由條件，易證△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延長線于N
∵AE=x，則AH=1-x
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°
∴HM=AH=（1-x）
同理得FN=BF=x
∴S_△AEH=AE•HM=x（1-x），S_△EBF=EB•FN=x（1-x）
又∵S_ABCD=
∴S=-4×x（1-x）=x²-x+=（x-）²+
∴當x=時，四邊形EFGH的面積存在最小值．
點評：本題考查特殊四邊形與二次函數的綜合應用．注意二次函數中一個y值有可能對應兩個x值．