Question

【題目】下面從認(rèn)知、延伸、應(yīng)用三個(gè)層面來(lái)研究一種幾何模型．

（1）如圖，已知點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，若∠AED＝∠B＝∠C．求證 △ABE∽△ECD．

（2）如圖，已知點(diǎn)E、F是線段BC上兩點(diǎn)，AE與DF交于點(diǎn)H，若∠AHD＝∠B＝∠C．

求證：△ABE∽△FCD．

（3）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；連接CD并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 猜想BF、BC、CE三線段的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)BC2=BF×CE.

【解析】

(1)利用△ABE的外角關(guān)系證出∠A=∠DEC，又∠B=∠C，從而△ABE∽△ECD；

(2)利用△ABE和△EFH的外角關(guān)系證出∠A=∠DFC，又∠B=∠C，從而△ABE∽△FCD；

(3)由圓的內(nèi)接四邊形和等邊三角形的性質(zhì)可知∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，由△CDE的外角關(guān)系可得∠E=∠DCB，從而可證△FBC∽△BCE，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=，從而得到BC2=BF×CE.

證明：(1)∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠A＋∠B，

又∵∠AEC=∠AED＋∠DEC，

∴∠A＋∠B=∠AED＋∠DEC，

∵∠B=∠AED，

∴∠A=∠DEC，

又∵∠B=∠C，

∴△ABE∽△ECD；

(2)∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠A＋∠B，

∵∠HEC是△EFH的外角，

∴∠AEC=∠HFE＋∠FHE，

∴∠A＋∠B=∠HFE＋∠FHE，

∵∠B=∠AHD，∠AHD=∠FHE，∴∠B=∠FHE，

∴∠A=∠HFE，

∵∠B=∠C，

∴△ABE∽△FCD；

(3)∵四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BDC＋∠A=180°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠BDC=∠CBF=∠ECB=120°，

∵∠FDE是△CDE的外角，

∴∠FDE=∠E＋∠DCE=120°，

∵∠DCB＋∠DCE=120°，

∴∠E=∠DCB，

∴△FBC∽△BCE，

∴=，

∴BC2=BF×CE.

故答案為：(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)BC2=BF×CE.