Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象相交于A（-2，2），B兩點(diǎn)，從點(diǎn)A和點(diǎn)B分別引平行于y軸的直線(xiàn)與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P（t，0），Q（4，t+3）分別為線(xiàn)段CD和BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)和直線(xiàn)分別交于R，S．
（1）求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）指出二次函數(shù)中，函數(shù)y隨自變量x增大或減小的情況；
（3）當(dāng)SR=2RP時(shí)，求t的值；
（4）當(dāng)S_△BRQ=15時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線(xiàn)和拋物線(xiàn)中，即可求得兩函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立兩函數(shù)可求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向進(jìn)行判斷；
（3）可分別求出當(dāng)x=t時(shí)，S，R的縱坐標(biāo)，RP為R的縱坐標(biāo)，SR為S，R的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，據(jù)此可求出t的值．（也可理解為SR為當(dāng)x=t時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值的差，據(jù)此可列出關(guān)于t的方程，可求出t的值）；
（4）本題可先求出BQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)R、B的橫坐標(biāo)求出△BRQ底邊BQ上的高，由此可得出關(guān)于三角形BRQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，將S=15代入函數(shù)式中即可求出t的值．

解答：解：（1）由題意知點(diǎn)A（-2，2）在y=ax²的圖象上，又在y=x+b的圖象上所以得
2=a（-2）²和2=-2+b，
∴a=

1

2

，b=4．
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+4．
二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²．
由

y=x+4 y= 1 2 x2

，
解得

x=-2 y=2

或

x=4 y=8

，
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，8）．

（2）對(duì)二次函數(shù)y=

1

2

x²：
當(dāng)x＜0時(shí)，y隨自變量x的增大而減小；
當(dāng)x＞0時(shí)，y隨自變量x的增大而增大．

（3）因過(guò)點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線(xiàn)為x=t，
由

x=t y=x+4

得

x=t y=t+4

，
所以點(diǎn)S的坐標(biāo)（t，t+4）．
由

x=t y= 1 2 x2

得

x=t y= 1 2 t2

，
所以點(diǎn)R的坐標(biāo)（t，

1

2

t²）．
所以SR=t+4-

1

2

t²，RP=

1

2

t²．
由SR=2RP得t+4-

1

2

t²=2×

1

2

t²，
解得t=-

4

3

或t=2．
因點(diǎn)P（t，0）為線(xiàn)段CD上的動(dòng)點(diǎn)，
所以-2≤t≤4，
所以t=-

4

3

或t=2．

（4）因BQ=8-（t+3）=5-t，點(diǎn)R到直線(xiàn)BD的距離為4-t，
所以S_△BPQ=

1

2

（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因?yàn)?2≤t≤4，
所以t=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等重要知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．