Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為對(duì)稱軸上的點(diǎn)，且△MAB的面積是4，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得△NCD是等腰三角形？若存在，求出符合條件的N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)y=ax²+bx+c，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）先求出拋物線對(duì)稱軸解析式，再求出AB的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積求出點(diǎn)M到AB的距離，然后分兩種情況寫(xiě)出即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)即為所求的點(diǎn)N的位置；求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出CD的垂直平分線的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解得到的點(diǎn)的坐標(biāo)也是滿足條件的點(diǎn)N．

解答：解：（1）設(shè)y=ax²+bx+c，
將A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以，y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴對(duì)稱軸為直線x=1，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
設(shè)點(diǎn)M到AB的距離為h，
則S_△MAB=

1

2

AB•h=

1

2

×4•h=4，
解得h=2，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）；

（3）①∵點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為（2，3），
∴點(diǎn)N為（2，3）時(shí)，△CDN是等腰三角形，
②∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D（1，4），
∵C（0，3），
∴CD與y軸的夾角為45°，
∴CD的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∴CD垂直平分線得解形式為y=-x+4，
聯(lián)立

y=-x2+2x+3 y=-x+4

，
解得

x1= 3- 5 2 y1= 5+ 5 2

，

x2= 3+ 5 2 y2= 5- 5 2

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）或（

3+ 5

2

，

5- 5

2

），
綜上所述，存在點(diǎn)N（2，3）或（

3- 5

2

，

5+ 5

2

）或（

3+ 5

2

，

5- 5

2

），使△NCD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）（3）分情況討論．