Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足 = ，連接AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，DE，若CF=2，AF=3，給出下列結(jié)論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE= ；④S△DEF=4 ，其中正確的是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB， ∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正確；
②∵ = ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正確；
③∵AF=3，F(xiàn)G=2，
∴AG= = ，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ，
∴tan∠E= ；
故③錯(cuò)誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD= = ，
∴S△ADF= DFAG= ×6× =3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴ =（ ）2 ，
∴ = ，
∴S△AED=7 ，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ；
故④正確．
故選C．
①正確．由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得： ，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②正確．由 = ，CF=2，可求得DF的長(zhǎng)，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③錯(cuò)誤．由勾股定理可求得AG的長(zhǎng)，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E= ．
④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面積，繼而求得S△DEF=4 ．