Question

（2012•市中區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點(diǎn)P，Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC，CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求直線OC的解析式．
（2）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒．如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出此時(shí)t的取值范圍．
（3）設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒．當(dāng)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程之和恰好等于梯形OABC的周長(zhǎng)的一半，這時(shí)，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分？如有可能，請(qǐng)求出t的值；如不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）O，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），C（8，6），利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q的坐標(biāo)滿足直線OC的解析式，可設(shè)Q(m，

3

4

m)，則OQ就是Q運(yùn)動(dòng)的路程，利用勾股定理即可利用t表示出m，從而求得Q的坐標(biāo)；
當(dāng)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)所走過的路程為2t，求得CQ的長(zhǎng)度，即可求得Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為t，則Q運(yùn)動(dòng)的路程為（22-t），根據(jù)△OPQ的面積等于梯形面積的一半，即可得到一個(gè)關(guān)于t的方程，根據(jù)方程的解得情況即可判斷；
當(dāng)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q走過的路程為（22-t），根據(jù)梯形OCQP的面積等于梯形OABC的面積的一半從而列方程求解．

解答：解：（1）∵O，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），C（8，6），設(shè)OC的解析式為y=kx+b，
將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：k=

3

4

，b=0．
∴y=

3

4

x．

（2）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè)Q(m，

3

4

m)，依題意有：m2+(

3

4

m)2=(2t)2，解得m=

8

5

t．
則Q(

8

5

t，

6

5

t)（0≤t≤5）．
當(dāng)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)所走過的路程為2t．
∵OC=10，
∴CQ=2t-10．
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2t-10+8=2t-2．
∴Q（2t-2，6）（5≤t≤10）．

（3）∵梯形OABC的周長(zhǎng)為44，當(dāng)Q點(diǎn)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P運(yùn)動(dòng)的路程為t，則Q運(yùn)動(dòng)的路程為（22-t）．
△OPQ中，OP邊上的高為：(22-t)×

3

5

．
∴S△OPQ=

1

2

t(22-t)×

3

5

，S梯形OABC=

1

2

(18+10)×6=84．
依題意有：

1

2

t(22-t)×

3

5

=84×

1

2

．
整理得：t²-22t+140=0．
∵△=22²-4×140＜0，
∴這樣的t不存在．
當(dāng)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q走過的路程為（22-t），
∴CQ的長(zhǎng)為：22-t-10=12-t．
∴S梯形OCQP=

1

2

×6(22-t-10+t)=36≠84×

1

2

．
∴這樣的t值也不存在．
綜上所述，不存在這樣的t值，使得P，Q兩點(diǎn)同時(shí)平分梯形的周長(zhǎng)和面積．

點(diǎn)評(píng)：此題是一次函數(shù)與梯形相結(jié)合的題目，解答此題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分別表示出P，Q的坐標(biāo)，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)再計(jì)算．