Question

如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8，∠CBA=30°，點(diǎn)D在線段AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，DF⊥DE于點(diǎn)D，并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）求證：CE=CF；

（2）求線段EF的最小值；

（3）當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積的大小是 ．

Answer 1

（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）如圖1，設(shè)AC交于點(diǎn)DE交于點(diǎn)G，DF交BC于H點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱可得EG=DG，且ED⊥AC，再根據(jù)DF⊥DE以及AB為半圓直徑可證得四邊形DGCH為矩形，因此可得CH=DG=EG，CH∥ED，再根據(jù)ASA證得△EGC≌△CHF，進(jìn)而得證；

（2）如圖2，連接CD，則CD=CE，由（1）知EF=2CD，因此可判斷當(dāng)線段EF最小時(shí)，線段CD也最小，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)CD⊥AD時(shí)線段CD最小，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角可知∠ACB=90°，再由AB=8，∠CBA=30°，可求得AC=4，BC=，而當(dāng)CD⊥AD時(shí)，CD=BC=2，再根據(jù)EF=2CD=;

（3）當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，如圖3，EF掃過的圖形就是圖中的陰影部分，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，結(jié)合（2）可知S△ABC=AC.BC=，因此可求陰影部分的面積.

試題解析：

【解析】
（1）證明：如圖1，設(shè)AC交于點(diǎn)DE交于點(diǎn)G，DF交BC于H點(diǎn)，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱

∴EG=DG，且ED⊥AC，

∵ DF⊥DE，

∴∠EGC=∠DGC=∠EDF=90°，

∵AB為半圓直徑，

∴∠ACB=90°.

∴四邊形DGCH為矩形.

∴CH=DG=EG，CH∥ED.

∴?E=?FCH，?EGC=?CHF.

∴△EGC≌△CHF.

∴EC=FC；

【解析】
如圖2，連接CD，則CD=CE.

由（1）知，EF=2CD，

∴當(dāng)線段EF最小時(shí)，線段CD也最小，

根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)CD⊥AD時(shí)線段CD最小

∵AB是半圓O 的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵AB=8，∠CBA=30°，

∴AC=4，BC=，

當(dāng)CD⊥AD時(shí)，CD=BC=，

此時(shí)EF=2CD=，

即EF的最小值為；

【解析】
當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，如圖3，

EF掃過的圖形就是圖中的陰影部分，線段EF掃過的面積是△ABC面積的2倍，

由（2）知，AC=4，BC=，

∴

∴線段EF掃過的面積是.

考點(diǎn)：圓周角的性質(zhì)，等腰三角形，三角形全等，垂線段的性質(zhì)