Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF.

  （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．求證CF+CD=BC；

  （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，其他條件不變，請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；

  （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí)，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；

    ①請直接寫出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；

    ②若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC．求OC的長度．

Answer 1

證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，     ∴AB=AC，…………………1分

∵四邊形ADEF是正方形，      ∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，  ∠CAF=90°﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，                         …………………2分

在△BAD和△CAF中，，

∴△BAD≌△CAF（SAS），…………3分

∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；…………………4分

（2）CF﹣CD=BC；…………………6分

（3）①CD﹣CF=BC…………………8分

     ②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），…………9分

∴∠ACF=∠ABD，

∵∠ABC=45°，       ∴∠ABD=135°，        ∴∠ACF=∠ABD=135°，

∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形．          …………………10分

∵正方形ADEF的邊長為2且對角線AE、DF相交于點(diǎn)O．

∴DF=AD=4，

∵O為斜邊DF中點(diǎn)．∴OC=DF=2