Question

如圖，已知正方形ABCD對角線交于點O，點P、點Q分別是BC、CD上的點，DP⊥AQ．求證：OQ⊥OP．

Answer 1

證明：∵DP⊥AQ，
∴∠DAQ+∠DQA=90°，∠CDP+∠CPD=90°，∠DQA+∠CDP=90°
∴∠DAQ=∠CDP
又∵AD=DC，∠ADC=∠DCB=90°
∴△ADQ≌△DCP（ASA）
∴DQ=CP
由正方形性質(zhì)可知OD=OC，∠ODQ=∠OCP=45°
∴△DOQ≌△COP（SAS）
∴∠1=∠2
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°
∴OP⊥OQ
分析：由DP⊥AQ易證∠DAQ=∠CDP，進而證明△ADQ≌△DCP得DQ=CP，進而證明△DOQ≌△COP得∠1=∠2，即可得∠2+∠3=90°，即可證明OP⊥OQ．
點評：本題考查了正方形各邊相等、各內(nèi)角相等的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定及全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中正確的求證△ADQ≌△DCP得DQ=CP是解題的關(guān)鍵．