Question

在直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（1，0）和點B，頂點為P．
（1）若點P的坐標為（-1，4），求此時拋物線的解析式；
（2）若點P的坐標為（-1，k），k＜0，點Q是y軸上一個動點，當k為何值時，QB+QP取得最小值為5；
（3）試求滿足（2）時動點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據頂點設出拋物線頂點式解析式為y=a（x+1）²+4，然后把點A的坐標代入求出a的值，即可得解；
（2）根據軸對稱確定最短路線問題，找出點P關于y軸的對稱點P′，連接BP′交y軸于點Q，則QB+QP最小，即QB+QP′最小，再根據拋物線的對稱性求出點B的坐標，然后求出AB，再Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可得到k的值；
（3）根據△BOQ和△BAP′相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出OQ的值，即可得到點Q的坐標．
解答：解：（1）∵頂點P的坐標為（-1，4），
∴設拋物線解析式為y=a（x+1）²+4，
將點A（1，0）坐標代入，得a（1+1）²+4=0，
解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+1）²+4（或y=-x²-2x+3）；

（2）作點P關于y軸的對稱點P′（1，k），連接BP′交y軸于點Q，
所以，QP=QP′，
點Q即為所求的使QB+QP取得最小值時的點，
∵點A（1，0），對稱軸為直線x=-1，
∴點B（-3，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
∵QB+QP取得最小值為5；
∴BP′=QB+QP′=QB+QP=5，
在Rt△ABP′中，AB²+AP′²=BP′²，
即4²+k²=5²，
解得k=3或k=-3，
∵k＜0，
∴k=-3；

（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′，
∴=，
即=，
∴OQ=．
所以Q點的坐標為（0，-）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，勾股定理的應用，相似三角形對應邊成比例的性質，（1）利用頂點式解析式形式求解比較簡單，（2）找出點P關于y軸的對稱點P′確定出點Q的位置是解題的關鍵．