【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點,與軸交于點,連接、.
(1)點是直線下方拋物線上一點,當面積最大時,為軸上一動點,為軸上一動點,記的最小值為,請求出此時點的坐標及;
(2)在(1)的條件下,連接交軸于點,將拋物線沿射線平移,平移后的拋物線記為,當經(jīng)過點時,將拋物線位于軸下方部分沿軸翻折,翻折后所得的曲線記為,點為曲線的頂點,將沿直線平移,得到,在平面內(nèi)是否存在點,使以點、、、為頂點的四邊形為菱形.若存在,請直接寫出的橫坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1),;(2)當或時,存在點,使以點、、、為頂點的四邊形為菱形.
【解析】
(1)如圖1中,設,作PF∥y軸交BC于點F.構建二次函數(shù)求出點P坐標,如圖2中,在y軸的正半軸上取一點G,連接BG,使得∠GBO=30°,作點P關于y軸的對稱點H,作HF⊥BG交y軸于M,交x軸于N.由FN=BN,推出PM+MN+BN=HM+MN+NF,根據(jù)垂線段最短可知,此時PM+MN+BN的值最短,求出H,F的坐標即可解決問題.
(2)想辦法求出R,D′的坐標,分兩種情形分別構建方程解決問題即可.
(1)如圖1中,設,作軸交于點.
圖1
由題意,,,
直線的解析式為,
,
,
,
,
時,的面積最大,此時,
如圖2中,在軸的正半軸上取一點,連接,使得,作點關于軸的對稱點,作交軸于,交軸于.
圖2
,
,根據(jù)垂線段最短可知,此時的值最短.
直線的解析式為,,,
直線的解析式為,
由,解得,
,
.
(2)如圖3中,
圖3
由題意直線的解析式為,
,
,
直線的解析式為,設,
原拋物線的頂點坐標為,平移后拋物線經(jīng)過點,此時頂點,翻折后的頂點,
,
由題意可知當時,存在點,使以點、、、為頂點的四邊形為菱形,
,
解得,
當點在線段的垂直平分線上時,存在點,使以點、、、為頂點的四邊形為菱形,則有: ,
.
綜上所述,當或時,存在點,使以點、、、為頂點的四邊形為菱形.
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【題目】分別寫一個滿足下列條件的一元二次方程:
方程的兩個根相等___________________________________
方程的兩根互為相反數(shù)______________________________________
方程的兩根互為倒數(shù)__________________________________________
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【題目】如圖是兩個可以自由轉動的轉盤,甲轉盤被等分成3個扇形,乙轉盤被等分成4個扇形,每一個扇形上都標有相應的數(shù)字小強和小寧利用它們做游戲,游戲規(guī)則是:同時轉動兩個轉盤,當轉盤停止后,指針所指區(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和小于9,小寧獲勝;指針所指區(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和等于9為平局;指針所指區(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和大于9,小強獲勝如果指針恰好指在分割線上,那么重轉一次.
畫樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結果,并指出小寧獲勝的概率;
該游戲規(guī)則對小寧,小強是否公平?如公平,請說明理由,如不公平,請修改游戲規(guī)則,使游戲公平.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO是△ABC的角平分線.以O為圓心,OC為半徑作⊙O.
(1)求證:AB是⊙O的切線.
(2)已知AO交⊙O于點E,延長AO交⊙O于點D,tanD=,求的值.
(3)(3分)在(2)的條件下,設⊙O的半徑為3,求AB的長.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點D.
(1)求證:∠CAD=∠B.
(2)若AC是∠BAD的平分線,sinB=,BC=2.求⊙O的半徑.
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【題目】“2018雙十一購物狂歡節(jié)”,阿里巴巴天貓在開場的2分5秒交易額超100億元.劉老師為此提前花88元購買了一張“88VIP”卡,使用此卡可享受部分特定商品九五折.
(1)為了使買的“88VIP”卡不虧,劉老師應至少選購多少元特定商品?
(2)劉老師在“雙十一”到來之前,分別在兩家店里選了一套標價為1100元的書籍和一件標價為990元的羽絨服.據(jù)了解,雙十一當天書籍可以使用“88VIP”卡,并降價;同時,劉老師發(fā)現(xiàn)聰明的老板先將羽絨服提價,雙十一當天再降價.最后劉老師雙十一購買兩種商品所花費的總金額恰好是 (1) 中的最小值,求m的值.
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線上在x軸下方的動點,過M作MN∥y軸交直線BC于點N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對稱軸上一點,F是拋物線上一點,是否存在以A,B,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點F的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關系.
【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結論.
【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足 關系時,仍有EF=BE+FD;請證明你的結論.
【探究應用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長.(結果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
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【題目】在直角坐標系中,直線l:y=x﹣與x軸交于點B1,以OB1為邊長作等邊△A1OB1,過點A1作A1B2平行于x軸,交直線l于點B2,以A1B2為邊長作等邊△A2A1B2,過點A2作A1B2平行于x軸,交直線l于點B3,以A2B3為邊長作等邊△A3A2B3,…,則等邊△A2017A2018B2018的邊長是_____.
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