已知:拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)A是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn),試在
軸上確定一點(diǎn)P,使PA+PB最短,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn)A作AC∥BP交軸于點(diǎn)C,求到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)∵
拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),
∴ =0. 解得
.
∵ ,∴
∴
…1分
∴ . ………………………….2分
(2)令,得
=0,
解得 . ∴
………..3分
∴點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
聯(lián)結(jié),直線
與
軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.
可求得直線的解析式:
. ∴
……………………………4分
(3)到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)有四個(gè).
如圖,由勾股定理得,所以△PAC為等邊三角形.
易證軸所在直線平分∠PAC,BP是△PAC的一個(gè)外角的平分線.作∠PCA的平分線,交
軸于
點(diǎn),交過(guò)A點(diǎn)的平行線于y軸的直線于
點(diǎn),作△PAC的∠PCA相鄰?fù)饨堑钠椒志€,交
于
點(diǎn),反向延長(zhǎng)C
交
軸于
點(diǎn).可得點(diǎn)
就是到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn).可證△AP
、△AC
、 △PC
均為等邊三角形.可求得:①
,所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為
;…………5分
②,所以點(diǎn)M2的坐標(biāo)為
;………………………………....6分③點(diǎn)M3與點(diǎn)M2關(guān)于x軸對(duì)稱,所以點(diǎn)M3的坐標(biāo)為
;………………..…..7分
④點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,所以點(diǎn)
的坐標(biāo)為
.
綜上所述,到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
,
,
.…………………………….. 8分
【解析】略
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