Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，延長弦BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，延長ED交AB延長線于點F，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖

直線DE與⊙O的位置關系是相切，

證明：連接OD，

∵AO=BO，BD=DC，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∵OD為半徑，

直線DE是⊙O的切線，

即直線DE與⊙O的位置關系是相切

（2）

解：

∵OD∥AC，∠BAC=60°，

∴∠DOB=∠A=60°，

∵DE是⊙O切線，

∴∠ODF=90°，

∴∠F=30°，

∴FO=2OD=12，

由勾股定理得：DF=6 ，

∴陰影部分的面積S=S△ODF﹣S扇形DOB= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π

【解析】（1）連接OD，根據(jù)三角形的中位線得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）求出∠DOF=60°，∠F=30°，求出DF，根據(jù)陰影部分的面積等于三角形ODF的面積減去扇形DOB的面積，分別求出后代入即可．
【考點精析】關于本題考查的圓周角定理和切線的判定定理，需要了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．