如圖,矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點在BC邊上,且拋物線經(jīng)過O,A兩點,直線AC交拋物線于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點D的坐標(biāo);
(3)若點M在拋物線上,點N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
解:(1)設(shè)拋物線頂點為E,根據(jù)題意OA=4,OC=3,得:E(2,3)。
設(shè)拋物線解析式為,
將A(4,0)坐標(biāo)代入得:0=4a+3,即。
∴拋物線解析式為即
。
(2)設(shè)直線AC解析式為(k≠0),
將A(4,0)與C(0,3)代入得:,解得:
。
∴直線AC解析式為。
與拋物線解析式聯(lián)立得:,解得:
或
。
∴點D坐標(biāo)為(1,)。
(3)存在,分兩種情況考慮:
①當(dāng)點M在x軸上方時,如圖1所示:
四邊形ADMN為平行四邊形,DM∥AN,DM=AN,
由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0)。
②當(dāng)點M在x軸下方時,如圖2所示:
過點D作DQ⊥x軸于點Q,過點M作MP⊥x軸于點P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3。
將yM=代入拋物線解析式得:
,
解得:xM=或xM=
。
∴xN=xM-3=或
,
∴N3(,0),N4(
,0)。
綜上所述,滿足條件的點N有四個:
N1(2,0),N2(6,0),N3(,0),N4(
,0)。
【解析】
試題分析:(1)由OA的長度確定出A的坐標(biāo),再利用對稱性得到頂點坐標(biāo),設(shè)出拋物線的頂點形式,將A的坐標(biāo)代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;。
(2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo)。
(3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時,DM∥AN,DM=AN,由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根據(jù)OA+AN求出ON的長,即可確定出N的坐標(biāo);當(dāng)四邊形ADM′N′為平行四邊形,可得△ADQ≌△NMP,MP=DQ=
,NP=AQ=3,將y=
代入得:
,求出x的值,確定出OP的長,由OP+PN求出ON的長即可確定出N坐標(biāo)。
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2 |
2 |
2 |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com