Question

【題目】如圖，已知直線與雙曲線（）交于，兩點，且點的橫坐標為6.

（1）求的值；

（2）若雙曲線（）上一點的縱坐標為9，求的面積；

（3）過原點的另一條直線交雙曲線（）于，兩點（點在第一象限），若由點，，，為頂點組成的四邊形面積為96，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）18 ；（2）24；（3）或；

【解析】

（1）由條件可先求得A點坐標，代入反比例函數解析式可求得k的值；

（2）首先求得C點的坐標，過C作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D、E，過A作x軸的垂線，垂足為F，然后求出S矩形CDOE＋S梯形CDFA，由反比例函數k的幾何意義可求得S△COE和S△AOF，進而可求出S△AOC；

（3）設P點坐標為（m，），由反比例函數k的幾何意義可得S△POM＝S△AOD，然后根據正比例函數與反比例函數的對稱性可得OA=OB，OP=OQ，然后根據S△POA＝S梯形ADMP＝S四邊形APBQ構建方程即可解決問題.

解：（1）由點A在直線上，且點A的橫坐標為6，代入可求得A點縱坐標為3，

∴A點坐標為（6，3），

∵A點在雙曲線上，

∴k＝6×3＝18；

（2）當點C的縱坐標為9時，代入可得x=2，即C點坐標為（2，9），

如圖，過C作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D、E，過A作x軸的垂線，垂足為F，

則OE＝CD＝9，OD＝2，OF＝6，AF＝3，

∴DF＝4，

∴S矩形CDOE＋S梯形CDFA＝，

又∵k＝18，

∴S△COE＝S△AOF＝×18＝9，

∴S△AOC＝S矩形CDOE＋S梯形CDFAS△COES△AOF＝4299＝24；

（3）設P點坐標為（m，），如圖，作PM⊥x軸于M，

∵P、A在雙曲線上，

∴S△POM＝S△AOD，

∴S△POA＝S梯形ADMP＝，

由正比例函數與反比例函數關于原點對稱可知，OA=OB，OP=OQ，

∴S△POA＝S四邊形APBQ，即，

解得m＝2或18（負值已舍去），

∴P（2，9）或（18，1）．