Question

（2004•蕪湖）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點(diǎn)．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求證：E點(diǎn)在y軸上；
（2）如果有一拋物線經(jīng)過(guò)A，E，C三點(diǎn)，求此拋物線方程．
（3）如果AB位置不變，再將DC水平向右移動(dòng)k（k＞0）個(gè)單位，此時(shí)AD與BC相交于E′點(diǎn)，如圖②，求△AE′C的面積S關(guān)于k的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先求出直線AD的解析式和直線BC的解析式，聯(lián)立兩式可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷出E是否在y軸上．
（2）根據(jù)已知的三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（3）由于AB∥CD，那么三角形BAD和三角形BCA中BC邊上的高都相等，那么這兩個(gè)三角形的面積就相等，同時(shí)減去一個(gè)三角形ABE′的面積后可得出三角形BDE′的面積等于三角形AE′C的面積，因此只需求出三角形BE′D的面積即可．在三角形BDE′中，BD的值為3+k，BD邊上的高為E′的縱坐標(biāo)即E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可得出S，k的函數(shù)關(guān)系式．
解答：（1）證明：由D（1，0），A（-2，-6），
得DA直線方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），
得BC直線方程：y=-x-2②
結(jié)合①②得，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2），
即E點(diǎn)在y軸上．

（2）解：設(shè)拋物線的方程y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)A（-2，-6），C（1，-3），
E（0，-2）三點(diǎn)，得方程組
解得a=-1，b=0，c=-2，
∴拋物線解析式為y=-x²-2．

（3）解：∵BA∥DC，
∴S_△BCA=S_△BDA
∴S_△AE′C=S_△BDE′=BD•E′F=（3+k）×2=3+k．
∴S=3+k為所求函數(shù)解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及圖象面積的求法等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．