Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，且CE＝1cm．點(diǎn)P由點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為cm/s，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，PQ交BD于F，連接PE，QB，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0＜t＜3)．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥BD？

(2)設(shè)△FQD的面積為y(cm2)，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

(3)是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形BQPE的周長(zhǎng)最�。�若存在，求出此四邊形BQPE的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）；（3）存在，四邊形BQPE的周長(zhǎng)的最小值為3+．

【解析】

(1)當(dāng)時(shí)，PE∥BD，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

(2)作FH⊥DQ．首先證明QF∥OA，△QDF是等腰三角形，求出FH即可解決問(wèn)題．

(3)如圖2中，作B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接B′E′交AD于Q，交CD于P，連接BQ，PE．此時(shí)BQ+QP+PE+BE的值最�。�

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，

，

，

當(dāng)時(shí)，，

，

∴t=s時(shí)，PE∥BC．

(2)如圖1中，作FH⊥DQ．

，，

，，

，

∴FQ∥OA，

∴∠FQD＝∠OAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠FDQ＝∠FQD，

∴FQ＝FD，∵FH⊥DQ，

，

，

，

，

∴．

(3)如圖2中，作B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接B′E′交AD于Q，交CD于P，連接BQ，PE．

∵BQ+QP+PE+BE＝B′Q+QP+PE′+BE＝B′E′+BE＝B′E′+3，

∴此時(shí)BQ+QP+PE+BE的值最小，

，

∴四邊形BQPE的周長(zhǎng)的最小值為3+．