Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，M是AD的中點，連接BM，BM的垂直平分線交BC的延長線于F，連接MF交CD于N．
（1）求證：BM=EF；
（2）求CF的長．

Answer 1

（1）證明：∵M(jìn)為AD的中點，
∴AM=DM=AD=AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴==，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；

（2）解：過M作MH⊥BC于H，
則四邊形AMHB和四邊形MDCH是矩形，
即DM=CH=1，BH=AM=1，MH=CD=2，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：EF=BM==，
S_△BMF=BM×EF=××=，
∴S_△BHM+S_△MHF=，
∴×1×2+×（1+CF）×2=，
∴CF=．
分析：（1）根據(jù)AD∥BC推出∠AMB=∠EBC，證△AMB∽△EBF，推出EF=2BE，根據(jù)BM=2BE推出即可．
（2）過M作MH⊥BC于H，得出四邊形AMHB和四邊形MDCH是矩形，根據(jù)勾股定理求出BM、EF，求出△MBF面積，根據(jù)S_△BHM+S_△MHF=得出×1×2+×（1+CF）×2=，求出即可．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生是否熟練運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算，題目綜合性比較強，有一定的難度．