(2004•哈爾濱)已知:拋物線y=-x2-(m+3)x+m2-12與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),且x1<0,x2>0,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,OB=2OA.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上,點(diǎn)A的左側(cè),求一點(diǎn)E,使△ECO與△CAO相似,并說明直線EC經(jīng)過(1)中拋物線的頂點(diǎn)D;
(3)過(2)中的點(diǎn)E的直線y=x+b與(1)中的拋物線相交于M、N兩點(diǎn),分別過M、N作x軸的垂線,垂足為M′、N′,點(diǎn)P為線段MN上一點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交(1)中所求拋物線于點(diǎn)Q.是否存在t值,使S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12?若存在,求出滿足條件的t值;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)可設(shè)出A、B的坐標(biāo),然后用韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積,然后根據(jù)OB=2OA,即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍聯(lián)立三式可得出m的值.即可求出拋物線的解析式;
(2)根據(jù)△ECO與△CAO相似,可通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例線段求出OE的長,即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可求出過E點(diǎn)直線的解析式,然后將拋物線頂點(diǎn)代入直線的解析式中進(jìn)行判斷即可;
(3)過M、N分別作直線PQ的垂線后可發(fā)現(xiàn),三角形QMN可以以QP為底,以M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差為高來求得其面積,而梯形的面積可以以M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的和與兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的差為高來求,因此三角形QMN和梯形的面積比實(shí)際是QM和M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的比.可聯(lián)立直線MN與拋物線的解析式求出M、N兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和,然后將t代入拋物線和直線MN的解析式中求出QP的表達(dá)式,根據(jù)題中給出的兩個(gè)圖形的面積比即可求得t的值.
解答:解:(1)∵x1<0,x2>0.
∴OA=x1,OB=x2
∵x1,x2是方程-x2-(m+3)x+m2-12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴x1+x2=-2(m+3)①,x1•x2=-2(m2-12)②x2=-2x1
聯(lián)立①,②,③整理得:m2+8m+16=0,
解得m=-4.
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4;

(2)設(shè)點(diǎn)E(x,0),則OE=-x.
∵△ECO與△CAO相似,
,,x=-8
∴點(diǎn)E(-8,0)
設(shè)過E、C兩點(diǎn)的直線解析式為y=k′x+b′,
則有:
解得
∴直線EC的解析式為y=x+4.
∵拋物線的頂點(diǎn)D(1,),當(dāng)x=1時(shí),y=
∴點(diǎn)D在直線EC上;

(3)存在t值,使S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12.
∵E(-8,0),
×(-8)+b=0,
∴b=2,y=x+2.
∴x=4(y-2).
∴y=-[4(y-2)2+4(y-2)+4],
整理得8y2-35y+6=0,
設(shè)M(xm,ym).
∴MM′=ym,NN′=yn,
∴ym,yn是方程8y2-35y+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,ym+yn=
∴S梯形=(ym+yn)(xn-xm
∵點(diǎn)P在直線y=x+2上,點(diǎn)Q在(1)中拋物線上,
∴點(diǎn)P(t,t+2)、點(diǎn)Q(t,-t2+t+4)
∴PQ=-t2+t+4-t-2=-t2-t+2,
分別過M、N作直線PQ的垂線,垂足為G、H,則GM=t-xm,NH=xn-t
∴S△QMN=S△QMP+S△QNP=PQ(xn-xm
∵S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12,
=,
整理得:2t2-3t-2=0,
解得t=-,t=2.
因此當(dāng)t=-或t=2時(shí),S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12.
點(diǎn)評:本題為二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識點(diǎn),難度較大.
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(3)過(2)中的點(diǎn)E的直線y=x+b與(1)中的拋物線相交于M、N兩點(diǎn),分別過M、N作x軸的垂線,垂足為M′、N′,點(diǎn)P為線段MN上一點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交(1)中所求拋物線于點(diǎn)Q.是否存在t值,使S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12?若存在,求出滿足條件的t值;若不存在,請說明理由.

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(1)根據(jù)圖象回答:小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需幾小時(shí)?此時(shí)離家多遠(yuǎn)?
(2)求小明出發(fā)兩個(gè)半小時(shí)離家多遠(yuǎn)?
(3)求小明出發(fā)多長時(shí)間距家12千米?

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(2)求小明出發(fā)兩個(gè)半小時(shí)離家多遠(yuǎn)?
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