Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線．

（2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：CD=HF．

Answer 1

 證明：（1）連接OE．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切線；…………………………………………4分

（2）如圖，連結DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．…………………………………………6分

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE．…………………………………………8分

在△CDE與△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF．…………………………………………9分