Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x（x﹣b）﹣與y軸相交于A點(diǎn)，與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P．

（1）若點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，求b的值；

（2）若OB＝OA，求△BCP的面積；

（3）當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，該拋物線上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為h，求出h與b的關(guān)系；若h有最大值或最小值，直接寫出這個(gè)最大值或最小值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值為1

【解析】

（1）由點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，可得出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出b值；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合OA＝OB可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，由拋物線的解析式利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用配方法可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可求出△BCP的面積；

（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四種情況考慮，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合二次函數(shù)的圖象找出h關(guān)于b的關(guān)系式，再找出h的最值即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，

∴﹣＝1，

解得：b＝2．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣）．

又∵OB＝OA，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，0）．

將B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，

解得：b＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣．

∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．

當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣x﹣＝0，

解得：x1＝﹣，x2＝1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．

∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．

（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．

當(dāng)≥1，即b≥2時(shí)，如圖1所示，

y最大＝b+，y最小＝﹣b+，

∴h＝2b；

當(dāng)0≤＜1，即0≤b＜2時(shí)，如圖2所示，

y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，

∴h＝1+b+＝（1+）2；

當(dāng)﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0時(shí)，如圖3所示

y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，

∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；

當(dāng)≤﹣1，即b≤﹣2時(shí)，如圖4所示，

y最大＝﹣b+，y最小＝b+，

h＝﹣2b．

綜上所述：h＝，h存在最小值，最小值為1．