Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AD=4cm，AB=8cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF．求EF的長．

Answer 1

解：連接BD，交EF于點G，
由折疊的性質知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
則△BDE是等腰三角形，
∵∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF（頂角的平分線是底邊上的高，是底邊上的中線），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AD=BC=4cm，AB=DC=8cm，
在Rt△CBD中，BD===4，
∵BG=DG，
∴DG=DB=2，
設AE=x，則DE=BE=8-x，
在Rt△ADE中：AE²+AD²=DE²，
則x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
則ED=EB=8-3=5，
在Rt△EBG中：EG²+BG²=EB²，
EG==，
∵BD⊥EF，
∴∠DGF=∠EGB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠EBG=∠GDF，
在△EBG和△FGD中，
∴△EBG≌△FGD（AAS），
∴GF=EG=，
∴EF=2．
分析：首先由折疊的性質知BE=ED，∠BEG=∠DEG，可得△BDE是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△CBD中，利用勾股定理算出BD的長，再在Rt△ADE中利用勾股定理計算出AE的長，進而得到EB的長，再次利用勾股定理計算出EG的長，然后證明△EBG≌△FGD，繼而得到GF=EG，從而得到EF的長．
點評：此題主要考查了折疊的性質，以及勾股定理的應用，關鍵是熟練掌握勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．