Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為x＝1的拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PO交直線AB于點(diǎn)Q，當(dāng)Q是OP中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）C在直線AB上，D在拋物線上，E在坐標(biāo)平面內(nèi)，以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)P（，）或（，）；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（2，﹣1）或（1，﹣4）或（0，﹣3）或（2，﹣5）.

【解析】

（1）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，由Q是OP中點(diǎn)即可表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，然后把點(diǎn)Q代入直線AB的解析式，解方程即可求出結(jié)果；

（3）分BC為正方形的對(duì)角線、BC是正方形的一條邊兩種情況，畫出圖形，分別根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可．

解：（1）對(duì)稱軸為x＝1的拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），則拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)直線AB的解析式為：，

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，得：，

解得：，

∴直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1，

設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），當(dāng)Q是OP中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)Q（m，），

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入直線AB 的表達(dá)式，得，

解得：m＝，

故點(diǎn)P（，）或（，）；

（3）①當(dāng)BC為正方形的對(duì)角線時(shí)，如圖1所示，

∵直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1，則點(diǎn)C（0，﹣1），點(diǎn)D（0，﹣3），

∴BE＝CD＝2，故點(diǎn)E1（2，﹣1）；

②當(dāng)BC是正方形的一條邊時(shí)，

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)D在BC下方時(shí)，如圖2所示，

拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，﹣4），點(diǎn)B（2，﹣3），可得PB⊥BC，

有圖示兩種情況，左圖，點(diǎn)C、E的橫坐標(biāo)相同，在函數(shù)對(duì)稱軸上，故點(diǎn)E2（1，﹣4）；

此時(shí)，點(diǎn)D、E的位置可以互換，故點(diǎn)E3（0，﹣3）；

右圖，點(diǎn)B、E的橫坐標(biāo)相同，

∵D（1，﹣4），∴E4（2，﹣5）；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D在AB上方時(shí)，此時(shí)要求點(diǎn)B與點(diǎn)D橫坐標(biāo)相同，這是不可能的，故不存在；

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（2，﹣1）或（1，﹣4）或（0，﹣3）或（2，﹣5）．